© Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Primera publicación: marzo de 2014

Impreso en el Perú – Printed in Peru

Editor del proyecto editorial

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas S. A. C.

Av. Alonso de Molina 1611, Lima 33 (Perú)

Teléf: 313-3333

www.upc.edu.pe

Primera edición: marzo de 2014

Versión ebook 2015
Digitalizado y Distribuido por YoPublico S.A.C.

www.yopublico.net
Telf: 51-1-221 9998
Dirección: Av. 2 de Mayo 534 Of. 304, Miraflores
Lima-Perú

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo, por escrito, de la editorial.

El contenido de este libro es responsabilidad del autor y no refleja necesariamente la opinión de los editores.

Agradecimientos

Prólogo

Introducción

Unidad 1. Fundamentos de Aritmética

Conjuntos numéricos

Números racionales

Razones y proporciones

Magnitudes y reparto proporcional

Regla de tres simple y compuesta

Porcentajes

Repasemos lo aprendido en la Unidad 1

Unidad 2. Fundamentos de Álgebra

Teoría de exponentes y radicales

Expresiones algebraicas

Productos notables

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de factorización algebraica

Ecuaciones cuadráticas

Expresiones y ecuaciones racionales

Ecuaciones irracionales 236

Ecuaciones polinómicas

Desigualdades e intervalos

Inecuaciones

Repasemos lo aprendido en la Unidad 2

Unidad 3. Fundamentos de Geometría y Trigonometría

Segmentos de recta

Ángulos

Triángulos

Cuadriláteros

Polígonos

Circunferencia y círculo

Sistema de medidas angulares

Razones trigonométricas

Introducción a la Geometría Analítica

Ecuación de la recta

Ecuación de la circunferencia

Ecuación de la parábola

Perímetro y área de figuras planas

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

Repasemos lo aprendido en la Unidad 3

Bibliografía

Juan Raúl Egoavil Vera es licenciado en Educación por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, especializado en el área de Matemática. Además, tiene una Maestría en Educación Matemática por la Universidad Nacional de Educación.

Cuenta con experiencia en la enseñanza en el nivel escolar, preuniversitario y universitario en instituciones privadas de prestigio nacional. Se ha desempeñado como profesor del curso de Elaboración de Materiales Educativos de postgrado en la Universidad Nacional de Educación y como coordinador académico en diferentes instituciones educativas. Actualmente es coordinador del curso Fundamentos de Matemática y profesor del curso Matemática Básica para Comunicadores en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC).

El numero de oro (conocido tambien como seccion aurea, proporcion aurea o razon aurea) fue descubierto en la epoca de la Grecia Clasica (s. V. a. de C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los disenos arquitectonicos y escultoricos. En el siglo XX se le atribuyo el simbolo φ (FI, la sexta letra del abecedario griego).

El valor numerico de φ es 1,618... . φ es un numero irracional, es decir, un decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repeticion que lo convierta en un numero periodico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho numero (como sucede con PI).

Quiero agradecerte, en primer lugar, a ti, Dios mío, por bendecirme y haberme dado la oportunidad de llegar hasta donde he llegado y porque hiciste realidad este sueño anhelado.

Quiero agradecer, también, a las autoridades de la Universidad Peruana De Ciencias Aplicadas (UPC) por darme la oportunidad de desarrollarme como profesional y por confiar en mi persona para la elaboración de este material bibliográfico.

Agradezco, también, al Director del área de Ciencias de la UPC: ingeniero Fernando Sotelo Raffo por su esfuerzo y dedicación, quien con sus conocimientos, su experiencia, su paciencia y su motivación ha logrado en mí que pueda adaptarme de la mejor manera a la labor educativa. Primero, como docente y, luego, como coordinador. Ahora, solo me queda retribuir tal confianza con la elaboración de este libro.

De igual manera, deseo agradecer al ingeniero Héctor Viale Tudela por su visión crítica de muchos aspectos cotidianos de la vida; por su rectitud en su profesión como director y como docente; y por sus consejos que me ayudaron a formarme como persona, como docente y como investigador.

Son muchas las personas que han formado parte de mi vida profesional a las que desearía agradecer por su amistad, consejos, apoyo, ánimo y compañía en los momentos más difíciles de mi vida. Algunas están aquí conmigo y otras en mis recuerdos y en mi corazón pero, sin importar dónde estén, quiero darles las gracias por formar parte de mi vida; por todo lo que me han brindado y por todas sus bendiciones.

Agradezco a mi familia por su apoyo firme y constante durante estos años, a mis padres quienes me infundieron la ética, el cariño a Dios y el amor con el que voy transitando por esta vida. Agradezco también a Isabel, fiel amiga y compañera, que me ha ayudado a continuar, haciéndome vivir los mejores momentos a su lado. Y dedico esta obra a mis hijas, Daniela y Esmeralda, por ser la razón de mi existir.

Fundamentos de matemática. Introducción al nivel universitario, es un libro que desarrolla una forma innovadora en el aprendizaje, para que los participantes en el ciclo de preparación se familiaricen con los principios de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. En este libro, el autor entrega al alumno del ciclo de preparación un compendio de ejercicios de cálculo y de modelamiento que le serán muy útiles en los cursos de Matemática de su carrera.

Este libro prepara a los recién ingresantes en la metodología que la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) utiliza para los cursos de Matemática a nivel universitario. Dicha metodología es fruto de la experiencia de los profesores de la UPC y convierte en actor del aprendizaje al mismo alumno, a través del continuo ejercicio del cálculo y de la modelación de situaciones en pleno transcurrir de la propia clase. El alumno aprende mejor haciendo, por esto a lo largo del libro hay múltiples ejercicios para que su intervención sea activa y permanente.

A través de la metodología planteada a lo largo del libro, el autor captura la atención de los alumnos del curso y logra que cada uno de ellos participe constantemente en la clase, resolviendo ejercicios y respondiendo a las preguntas planteadas en cada tema. Hacerlo, indudablemente, favorece el aprendizaje y logra insertar al estudiante en su propio proceso de aprendizaje. Los resultados que se obtienen serán mejores a medida que este se identifique con la necesidad de su propio involucramiento en el proceso de enseñanza aprendizaje.

En suma, este libro proporciona a los estudiantes del ciclo de preparación universitaria una herramienta muy positiva para mejorar los resultados que puedan lograr en el curso. Además, les permite familiarizarse con una metodología presente en los cursos de nivel universitario que posteriormente estudien.

Fernando Sotelo
Director del Área de Ciencias
Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

El objetivo de este libro es ofrecer a los estudiantes del ciclo preuniversitario, así como a los de nivelación una introducción clara, sencilla y general a la teoría matemática, utilizando ejercicios y problemas aplicados a las diferentes carreras profesionales que ofrece la UPC.

Pero, es conveniente explicar porqué un nuevo libro de Matemática. En primer lugar, durante mi experiencia docente en diferentes universidades, observé que en el proceso de enseñanza los docentes usamos libros que no invitan a la lectura y a la investigación. En general, estas explicaciones resultan ajenas a la realidad económica nacional a la cual nos enfrentamos cotidianamente, limitando los alcances y comprensión de los diferentes temas que abordamos en clase. Este es un sentir común y recurrente en conversaciones y discusiones en las universidades entre los profesores de esta disciplina. A partir de esta preocupación, nació la idea de elaborar un texto que abarque estas demandas.

Así, el texto que el lector tiene en sus manos busca iniciarlo en la curiosidad de saber algunos aspectos matemáticos, algunas curiosidades y sobre todo conocer páginas web en las cuales podrán reforzar los temas tratados sencilla y claramente, elevando el gusto por esta hermosa ciencia.

Las matemáticas nos ayudan a resolver problemas básicos o complejos que tradicionalmente se aprenden resolviendo problemas sencillos al principio, después estos se sistematizan para solucionar problemas más complicados. Por ejemplo, para resolver ecuaciones algebraicas, es imprescindible saber sumar, restar, multiplicar y dividir, conocer el orden de los pasos, evaluar expresiones y saber cómo y cuándo se aplican las ecuaciones.

En nuestra etapa como estudiantes debemos tomar cursos de matemática al menos 12 años, las bases que tengamos en cada uno de ellos nos ayudarán a enfrentar los siguientes. Pero, si estas son deficientes ocasionan graves problemas para los estudiantes e incluso en algunos casos los llevan a decidirse por estudiar carreras con la menor carga matemática posible.

Entonces, no son necesarias únicamente para obtener una calificación aprobatoria y pasar de año, sino para ingresar y permanecer en la universidad, pues en muchas instituciones de educación superior de nuestro país, los procesos de admisión son duros y solo son aceptados los estudiantes con los más altos puntajes.

Aprender matemáticas es importante si el estudiante considera ir a la universidad. Las habilidades que aprenda en estos cursos son aplicables en todos los trabajos. Aun si no quiere estudiar alguna carrera del área de las ciencias naturales y exactas, la mayoría de los empleos para recién egresados requieren que las personas contratadas cuenten con conocimientos básicos de matemática.

Algunas de las habilidades que se adquieren a través de su estudio son:

• La capacidad para identificar y analizar patrones.

• Capacidad de pensamiento lógico y reflexivo.

• Pericia para visualizar relaciones.

• Capacidad para resolver problemas.

El libro está dividido en tres unidades: la primera llamada Fundamentos de Aritmética, ofrece un conjunto de temas importantes (conjuntos numéricos, números racionales, razones y proporciones, magnitudes proporcionales, reparto proporcional, regla de tres simple y compuesta y porcentajes) que el estudiante debe conocer al detalle, pues si bien es cierto dichos temas han sido tratados en el nivel escolar, requieren ser repasados y profundizados.

En la segunda unidad, nos ocupamos de los Fundamentos del Álgebra. En este caso, desarrollamos detallada, clara y profundamente temas en los cuales los estudiantes siempre tienen dificultad (teoría de exponentes y radicales, ecuaciones exponenciales y logarítmicas, expresiones algebraicas, productos notables, racionalización, ecuaciones de primer grado, sistema de ecuaciones lineales, factorización, ecuaciones de segundo grado, expresiones racionales, ecuaciones racionales, ecuaciones irracionales, ecuaciones polinómicas, desigualdades, intervalos e inecuaciones) ya que la experiencia adquirida me dice que los estudiantes tienen mucha dificultad al desarrollar ejercicios.

En la tercera y última unidad se desarrollan los Fundamentos de Geometría y Trigonometría. En esta parte se abordan temas básicos como son: segmento de recta, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos, circunferencia y círculo, sistema de medidas angulares, razones trigonométricas, introducción a la geometría analítica, ecuación de la recta, ecuación de la circunferencia, ecuación de la parábola, perímetro y áreas de figuras planas y áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Dichos temas forman parte importante dentro de la formación de los estudiantes y los alumnos deben conocerlos más aún quienes están a un paso de la vida universitaria.

Mg. Juan Egoavil Vera

Introducción

Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo y recibe el nombre de numeral.

A lo largo de la historia, cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la actualidad aún se usa el de numeración romana, que se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional en el que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar cantidades:

I: uno

V: cinco

X: diez

L: cincuenta C: cien

D: quinientos M: mil

Actualmente, el sistema universalmente aceptado (excepto algunas culturas) es el Sistema de Numeración Decimal en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez 10, por lo que se compone de las cifras cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes.

Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas cada una relacionada con la otra y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones.

Gráfico 1.1 Tipos de conjuntos numéricos

1. Números naturales

DEFINICIÓN: son los que usamos para contar u ordenar los elementos de un conjunto no vacío.

SIMBÓLICAMENTE: N = {1; 2; 3; …; n; n + 1}

Están ordenados en forma creciente, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

2. Números enteros

Para solucionar el problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se agrega el número cero y los números opuestos a los naturales.

De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4).

DEFINICIÓN: el conjunto de los Números Enteros está formado por la unión de los Naturales, el cero y los opuestos de los Números Naturales.

SIMBÓLICAMENTE: Z = {…–3, –2, –1,0,1,2,3,…}

En general si a es un entero, se dice que, – a es el opuesto de a.

Los números enteros permiten representar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etcétera).

Nota: al conjunto ₀ = {0; 1; 2; 3;…} que como se ve tiene como elementos al cero y a los números naturales se le denomina conjunto de los números cardinales.

Operaciones en Z

La suma y el producto de números enteros es siempre otro número entero.

La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (–b), donde a es el minuendo y b es el sustraendo.

La división entre números enteros nos arroja como resultados dos números enteros llamados cociente y resto.

Si denotamos con a al dividendo, con b al divisor, con q al cociente y con r al resto, se tendrá que al dividir a entre b, el cociente q indica las veces que b está contenido en a, pudiendo quedar un resto r, positivo o nulo. Esto se expresa con la siguiente igualdad: a = q. b + r, 0 ≤ r ≤ |b|.

La división a:b es la operación que representa la acción de repartir a elementos de un conjunto en b partes iguales, quedando en muchos casos un residuo no nulo. En todos los casos q y r son únicos.

3. Números racionales

¡Dividir es repartir en partes iguales!

Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas.

El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?

¡Tú puedes deducir la respuesta!

DEFINICIÓN: son los que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Se pueden expresar como fracción.

EN SÍMBOLOS:

Los números racionales representan partes de un todo.

También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:

Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números racionales.

Observe que:

Entonces «Todos los enteros son racionales». Es decir

Notación decimal

Cada número racional expresado en notación decimal está compuesto de dos partes:

es un conjunto denso

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.

Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales, encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales, por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.

4. Números irracionales

Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica, pero ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es NO. Existen otros números que junto a los números racionales completan a la recta numérica: los números irracionales.

DEFINICIÓN: Los números irracionales son los que no se pueden expresar como fracción. En símbolos:

I = {x / x no se puede expresar como fracción

Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas.

SIMBÓLICAMENTE:

Ubicación exacta de

Con ayuda del Teorema de Pitágoras podemos ubicar de manera exacta el número .
Si construimos un triángulo rectángulo de catetos unitarios, la hipotenusa mide .
Luego, con ayuda de un compás trasladamos la medida de la hipotenusa a la recta real.

Una operación en I es una manera de asociar a cada par de números irracionales, otro número irracional bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la resta, la multiplicación, el cociente y la extracción de raíces (exceptuando la radicación de números negativos de índice par).

Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los resultados son racionales.

5. Números reales

DEFINICIÓN: el conjunto de los números reales surge de la unión de los números racionales y de los irracionales. Se denota como Comprende a todos los sistemas numéricos anteriores.

Se habla del orden en los números reales a través de la propiedad de tricotomía afirmando que dados n y m dos números reales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

Al igual que en los conjuntos , , e I, los números reales se pueden representar en una recta, solo que en este caso no hay puntos discretos, sino se trata de una recta continua:

La recta sobre la cual se representa a los números racionales e irracionales se llama recta real. A cada punto de esta recta se le asocia un único número real llamado coordenada o abscisa del punto y, recíprocamente, a cada punto de esa recta se le vincula un único número para que sea su coordenada. Si esta doble asignación se hace de manera que puntos distintos tengan coordenadas distintas y cada número sea coordenada de algún punto, se ha obtenido una correspondencia biunívoca entre la recta y el conjunto de los números reales. Esta asignación se denomina Sistema de Coordenadas Unidimensional.

En general, dado un punto P cualquiera en la recta, al número real a se le llama coordenada o abscisa de P y se denota por P(a), que se lee: punto P de coordenada a.

Una operación en es una manera de asociar a cada par de números reales, otro número real bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma, la multiplicación (la resta se considera como la suma de números de diferente signo y la división como la multiplicación de un número por el recíproco de otro, siempre cuando el segundo no sea cero), la radicación de números positivos y la radicación de índice impar de números negativos. Es decir, las operaciones que se definen en este conjunto son todas excepto dos:

• La división entre cero.

• La extracción de raíces de índice par de números negativos.

Propiedades Básicas

Potenciación

Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que aⁿ se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:

La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.

Propiedades de la Potencia
Distributiva con respecto al producto	(a · b)m = am · bm
Distributiva con respecto a la división
Producto de potencias de igual base	an am = an + m
División de potencias de igual base
Potencia de potencia	(an)m = an.m

• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?

• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?

Radicación

Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bⁿ. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bⁿ para definir la n–ésima raíz de a.

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a

Si a es un número real positivo, si y solo si a = b² y b > 0

Además,

En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:

2³ = 8 y (–5)³ = –125

Se puede decir entonces que:

Si a y b son números reales cualesquiera, si y solo si a = b³

Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.

Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.

Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:

Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
Raíz de raíz

Orden de operaciones

Orden de operaciones sin símbolos de agrupación o colección

Para calcular expresiones numéricas en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden:

1. Potencias y raíces.

2. Multiplicaciones y divisiones.

3. Adiciones y sustracciones.

Orden de operaciones con símbolos de agrupación o colección

Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.

1. Complete con los símbolos ∊, ∉, ⊆ o ⊆ según corresponda.

2. Dado el conjunto encuentre:

Represente el conjunto S en la recta numérica en forma aproximada.

3. Desarrolle:

4. Calcule el valor de:

5. Solucione:

Manejo de conceptos

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique sus respuestas.

a. La suma de dos números naturales es siempre un número natural.

( )

b. La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural

( )

c. El cuadrado de un número racional negativo es un número racional positivo.

( )

d. Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y .

( )

e. El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.

( )

2. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera.

a. Si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0

( )

b. (–a) · (–b) = (a . b)

( )

c. El cociente entre un número y su opuesto es igual a –1

( )

d. a + (– b + c) = a – b + c

( )

e. El inverso de 2 es 12

( )

f. a: (b + c) = a:b + a : c, siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0

( )

g. b – [–c · (2 – 1) – 1] = b

( )

h. a – (b + c) = a – b + c

( )

i. (b + c): a = b: a + c, con a ≠ 0

( )

j. Para todo a ∈ , a: a^–1 = 1

( )

k. Para todo a ∈ , (a^–1)^–1 = a

( )

l. a · (–b) = a · b

( )

m. a · (b – c) = a · b – a · c

( )

n. La ecuación 2x = 1 tiene solución en

( )

o. –(– a) = a

( )

Habilidades de cálculo

1. Responda:

a. Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13; 15 y 16 en términos de m?

b. Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior?

c. Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior?

d. Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿y x – 1?

e. Si x es cualquier entero ¿2x es par o impar? ¿y 2x – 1? ¿y 2x + 1?

2. Calcule:

3. Complete con = o ≠ y mencione qué propiedades se cumplen o no se cumplen:

a. (a + b)ⁿ____aⁿ + bⁿ

b. a^b____b^a

c. a^bc____(a^b)^c

d. (p · q)^a____p^a · q^a

4. En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Indique cuáles son y corríjalos.

a. (2² · 2^–3 · 2⁵)² = (2⁴)² = 2¹⁶

b. (5²)⁴ ÷ (5^–3)² = 5^–6 ÷ 5^–6 = 5⁰ = 1

c.

d. (7.2–14)⁰ + 5⁰ = 2

5. Desarrolle:

Modelación

1. Un semáforo comienza su funcionamiento con la siguiente secuencia y duración: luz roja 4 minutos luego amarilla 3 minutos, finalmente, verde 2 minutos. Si comienza con luz roja a las 12:15 horas, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es o son correctas?

I.   A las 12:25 tiene luz roja.

II.  A las 12:30 tiene luz amarilla.

III. A las 12:35 tiene luz verde.

a. Solo I

b. Solo I y II

c. Solo I y III

d. Solo II y III

e. I, II y III

2. Si las letras p y q indican suma 2 y resta 3 respectivamente, entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones tiene un mayor valor?

a. 5(1 + p)

b. 3(q + 6)

c. 2(q + 8)

d. 3(p + 4)

e. 10(q + 2)

3. Claudio tiene 8 bolitas más que Juan. Juan tiene 5 bolitas menos que Andrés, y Patricio 3 bolitas más que Andrés. Entonces, ¿cuál o cuáles de las siguientes aseveraciones es o son correctas?

I.   Juan es quien tiene menos bolitas.

II.  Claudio es quien tiene más bolitas.

III. Claudio tiene 3 bolitas más que Andrés.

a. Solo I

b. Solo II

c. Solo I y II

d. Solo I y III

e. I, II y III

4. ¿En cuántos minutos más serán las 11:45, si hace 20 minutos eran las 9:15?

a. 150 minutos

b. 130 minutos

c. 120 minutos

d. 110 minutos

e. 100 minutos

5. En 14 días más daré mi segunda prueba de Matemática. Si la primera prueba fue 22 días antes que la segunda, hace cuarenta días atrás, ¿cuántos días faltaban para rendir mi segunda prueba?

a. 4

b. 18

c. 32

d. 40

e. 48

6. Si las letras del abecedario representan a los primeros números naturales de menor a mayor respectivamente, entonces es correcto afirmar que:

I.   c + c = b × c

II.  b×(a + b) = b + c

III. c + a × b = a × b × c

a. Solo I

b. Solo I y II

c. Solo I y III

d. Solo II y III

e. I, II y III

7. La diferencia entre dos números es 8. Si el mayor es cuatro unidades menos que el doble del menor, entonces ¿la suma de los números es?

a. 20

b. 28

c. 30

d. 32

e. 36

8. Si (x² – 4x + 4) representa el área de un cuadrado, entonces su perímetro queda representado por:

a. x – 2

b. 4x – 2

c. 4x – 8

d. 4x – 16

e. 4x + 8

9. Daniela debe tomar un litro y medio de leche diario. Si con 120 gramos de leche en polvo se hace un litro ¿cuántos kilogramos necesita para 30 días?

a. 4,4

b. 4,5

c. 4,8

d. 5,4

e. 5,6

10. Se envasa arena en sacos de 4 kilos (A) y sacos de 8 kilos (B). Si se debe completar 80 kilos de arena ¿qué combinación de sacos se puede usar?

I.   5A + 5B

II.  12A + 4B

III. 2A + 9B

a. Solo II

b. Solo III

c. Solo I y II

d. Solo II y III

e. I, II y III

Páginas web para consultar

Más ejemplos y ejercicios sobre números reales:
http://www.vitutor.com/di/re/r2.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-reales.html

Ampliación del campo numérico

Analizaremos porqué las operaciones indicadas son posibles de realizar en los respectivos campos numéricos.

Como se estudió anteriormente, en el conjunto de los números naturales, solo eran posibles las operaciones de la adición, la multiplicación y la potenciación, por que cumplen la Ley de Cierre o Clausura.

Al incorporar los números negativos, se resolvió el problema de la resta cuando el minuendo es menor que el sustraendo.

A continuación, estudiaremos la ampliación del campo numérico para resolver el problema de la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.

El esquema anterior se expresa, gráficamente, en el siguiente diagrama.

Necesidad de la creación de los números fraccionarios

Los números fraccionarios se crearon para solucionar la división, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor.

Conjunto de números racionales

El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros, unido con el de los números fraccionarios (F).

A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.

Al incorporar los números negativos, se resolvi

A los números racionales se los designa con la letra , inicial de la palabra quotient que en inglés significa cociente.

Número racional

Definición: se llama número racional a todo número que puede ser expresado como una fracción.

Representación de los números racionales en la recta numérica

A todo número racional le corresponde un punto en la recta numérica, pero no todos los puntos de la recta numérica corresponden a números racionales.

Esto significa que existe una correspondencia unívoca entre los puntos de la recta numérica y el conjunto de los números racionales.

Los números racionales positivos se representan a la derecha del cero, los racionales negativos a la izquierda del cero.

Para representar en la recta números fraccionarios se divide la unidad en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador.

Relación entre números fraccionarios y números decimales

Como se sabe, las fracciones se utilizan para expresar cantidades que no son números enteros. Pero en la práctica, para indicar esas cantidades es frecuente emplear números decimales.

Por ejemplo, decimos 0,6 m en vez de

También debemos recordar que toda fracción es un cociente indicado entre dos números enteros, por lo tanto, a cada fracción le corresponde un número decimal que es el resultado de la división entre el numerador y el denominador.

Teniendo en cuenta las expresiones decimales obtenidas, se observa que existen dos tipos de números decimales.

1. Números cuya parte decimal es finita o limitada, que se denominan números decimales finitos.

2. Números cuya parte decimal es infinita periódica o ilimitada periódica se denominan números decimales periódicos.

Conclusión

• Toda fracción que tiene en el denominador, potencias de 2, de 5 o producto de ambas potencias, se transforman en números decimales exactos o finitos, es decir, con un número exacto de cifras decimales.

Toda fracción que tiene en el denominador, factores que no sean potencias de 2 o de 5, se transforman en expresiones decimales periódicas.

Transformación de una expresión decimal en fracción

Ya se estudió que toda fracción se puede expresar como número decimal. La afirmación recíproca también es válida, es decir que todo número decimal se puede expresar como fracción.

Transformación de un número decimal finito

Para expresar un número decimal finito en fracción, se escribe como numerador, el número dado sin la coma decimal y como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado. Luego se simplifica todo lo posible.

Transformación de un número decimal periódico

Periódico puro

Para transformar un número decimal periódico puro en fracción, se escribe como numerador el número dado sin la coma decimal y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el período.

Si tiene parte entera se le suma. Luego, se busca la fracción irreducible correspondiente.

Periódico mixto